Category Archives: Föreläsningar

Inställd räknestuga!

Jag är hemskt ledsen över att säga att dagens räknestuga måste ställas in pga sjukdom. Jag räknar med att vara piggare till föreläsningen imorgon. Gott om tid att ställa frågor kommer att ges efter föreläsningen!

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar

Räknestuga

Jag har bokat in en tvåtimmars räknestuga inför tentan:

Torsdag 23/10 kl 13-15 i sal B115.

Under räknestugan kommer jag att finnas till hands för att svara på frågor och den som vill kan själv sitta och räkna. På föreläsningen 24/10 går vi igenom gamla tentor.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar, Kursinformation

Föreläsning 11

Den elfte föreläsningen handlar om hypotestester och teorin för hur man kan hitta bästa möjliga test. Bilderna från presentationen finns här.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar

Föreläsning 9: Ostexemplet

I en ostdisk ligger 20 stycken schweizerostar. Vi är intresserade av att undersöka hur många hål det finns i en typisk schweizerost, och drar därför ett stickprov på 10 ostar och räknar antalet hål i dessa.

ost

Nedan följer R-koden för simulering av stickprov från ostdisken:

Är medelvärdet eller medianen att föredra? Hur kan vi jämföra skattarna?

De 20 ostarna har följande antal hål:
6, 18, 0, 28, 26, 13, 32, 2, 1, 2, 30, 12, 1, 11, 12, 23, 5, 3, 27, 17

Väntevärdet för antalet hål i ostarna är 13.45.

Koden för jämförelse av skattare följer nedan:

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar, Simuleringar

Föreläsning 9-10

De kommande två föreläsningarna ägnas åtsamplingfördelningar och skattare. Bilderna från presentationen är uppdelade efter kapitlen i boken: kapitel 7, kapitel 8 samt kapitel 9.

Det här ett på många sätt en brytpunkt i kursen, där vi lämnar den rena sannolikhetsteorin och kommer in på inferensfrågor. De begrepp som vi studerade tidigare i kursen, såsom momentgenererande funktioner och betingade fördelningar, visar sig vara viktiga när vi undersöker egenskaper hos olika skattare.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar

Föreläsning 7-8

På föreläsningarna 7-8 tar vi upp funktioner av slumpvariabler. Bilder från presentationen finns här.

Vårt mål är att kunna bestämma fördelningen för olika funktioner av slumpvariabler. Detta kan exempelvis göras med hjälp av fördelningsfunktionen, transformationer och momentgenererande funktioner. Ett viktigt matematiskt verktyg är variabelsubstitution, som används för att hantera besvärliga integraler.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar

Föreläsning 5-6

Den här veckan går vi igenom multivariata slumpvariabler. Bilder från presentationen finns här.

Teorin för multivariata slumpvariabler är mycket viktiga när man analyserar mer än en slumpvariabel i taget. Den ligger till grund för metoderna som diskuteras i Multivariat analys. Viktiga begrepp är simultan- och marginalfördelning samt betingning.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar

Gammafunktionen och fakultet

Här kommer den utlovade kopplingen mellan gammafunktionen \Gamma(x)=\int_0^\infty y^{x-1}e^{-y}dy och fakultet {x!}

Till att börja med studerar vi \Gamma(1):

\Gamma(1)=\int_0^\infty y^{1-1}e^{-y}dy=\int_0^\infty e^{-y}dy=\lbrack -e^{-y}\rbrack_0^\infty=-0+1=1.

Mer allmänt får vi

 \Gamma(x)=\int_0^\infty y^{x-1}e^{-y}dy=\int_0^\infty g(y)f(y)dy

där

 g(y)=y^{x-1}\qquad\mbox{och}\qquad f(y)=e^{-y}.

Vi använder partialintegration för att beräkna integralen. Vi har att F(y)=-e^{-y} och g'(y)=(x-1)y^{x-2}, så vi får

 \Gamma(x)=\lbrack -y^{x-1}e^{-y}\rbrack_0^\infty+(x-1)\int_0^\infty y^{x-2}e^{-y}dy\\=0+0+(x-1)\int_0^\infty y^{x-2}e^{-y}dy=(x-1)\Gamma(x-1)

eftersom \Gamma(x-1)=\int_0^\infty y^{x-2}e^{-y}dy per definition. Vi har alltså kommit fram till att

\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1).

Det innebär att \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)=x(x-1)\Gamma(x-1)=x(x-1)(x-2)\Gamma(x-2), och så vidare. Det här sambandet använde vi sist i uträkningarna som hörde till bild 33 i presentationen.

Om x är ett icke-negativt heltal får vi

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)=x(x-1)\Gamma(x-1)=\ldots=x(x-1)(x-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 =x!

vilket gör att vi kan tolka gammafunktionen som en kontinuerlig variant av fakultetsfunktionen! Det här förklarar också varför 0!=1, eftersom 0!=\Gamma(0+1)=\Gamma(1)=1, som vi kom fram till högst upp i den här texten.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar, Matematik

Föreläsning 3-4

Föreläsning 3-4 handlar om kontinuerliga slumpvariabler. Bilder till presentationen finns här.

Vi repeterar integration och några viktiga kontinuerliga fördelningar. Vi studerar momentgenererande funktioner för kontinuerliga slumpvariabler och diskuterar Chebyshevs olikhet.

Rekommenderade problem återfinns i läsanvisningarna.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar

Föreläsning 1-2

Under den första föreläsningen gick vi igenom de kombinatoriska metoderna i kapitel 2 i kursboken. Bilder från presentationen finns här.

Vi fortsatte sedan med delar av kapitel 3 och en repetition av de viktigaste diskreta fördelningarna: binomial, Poisson, geometrisk, negativ binomial och hypergeometrisk. Framförallt binomial, Poisson och geometrisk fördelning kommer att dyka upp i flera exempel under kursens gång.

Under den andra föreläsningen introducerade vi momentgenererande funktioner m(t) och några viktiga deriveringsregler. Vi räknade exempel med binomialfördelning och geometrisk fördelning och visade hur momentgenererande funktioner kan användas för att beräkna E(X) och V(X).

Bilder från presentationen hörande till kapitel 3 finns här.

Nu är det dags att sätta igång att lösa problem ur boken! Att räkna igenom många uppgifter är nyckeln till att klara den här kursen.

Rekommenderade uppgifter för kapitel 2 är:
2.58 (variation). Bestäm sannolikheten att få (minst) tvåpar då man slumpmässigt väljer fem kort ur en kortlek. Bestäm sannolikheten att få (minst) färg/svit/flush då man slumpmässigt väljer fem kort ur en kortlek.
2.67. Något mer avancerad uppgift. För hjälp se Exempel 2.13.
2.69. För förståelse av hur binomialkoefficienterna fungerar. Lös uppgiften både verbalt och algebraiskt. Den verbala lösningen är mest elegant.
2.45. Enklare uppgift rörande distinkta permutationer.
2.181. Bra träning på den fjärde kombinatoriska räknemetoden. Se föreläsning Bild 11.
2.119a. Träning på geometriska serier. Se föreläsning för lösning av 2.119b.
2.138. En mer avancerad uppgift på temat med geometriska serier. Se föreläsning för lösning av 2.119b.

Rekommenderade uppgifter för kapitel 3 är:
3.29. För vissa diskreta slumpvariabler finns ett alternativt sätt att beräkna väntevärdet. Något klurig uppgift. Hint. Skriv ner den vanliga formeln för väntevärdet. Hur många gånger ”förekommer” Pr(X=k) i detta väntevärde?
3.33. Då den aktuella funktionen är en linjärfunktion blir beräkningarna av E[u(X)] speciellt trevlig. Bevisa detta.
3.64. En generalisering av Exempel 3.10 och alltså en inblick i vad som kommer i Avsnitt 9.7.
3.65. En fortsättning av uppgift 3.64.
3.71. Här ska du visa att den geometriska fördelningen inte har något ”minne”.
3.80. En naturlig fortsättning på uppgift 3.77 som löstes på föreläsningen.
3.85. På föreläsningen fann vi E(X). Uppgiften är nu att på liknande sätt beräkna V(X). Klurig uppgift. Följ instruktionerna.
3.86. En generalisering av Exempel 3.13 och alltså en inblick i vad som kommer i Avsnitt 9.7.
3.101. Denna uppgift är precis som i de två föregående avsnitten en inblick i vad som kommer i Avsnitt 9.7.
3.119. Detta är en motsvarighet till negativ binomialfördelning men med dragning utan återläggning, dvs en ”negativ hypergeometrisk fördelning”.
3.216c. Något klurig uppgift. Använd binomialutveckling och försök sedan matcha ihop identiska termer.
3.217. Använd resultatet i uppgift 3.216c. Vi använder sedan samma teknik som i beviset av Sats 3.7 (dvs motsvarande situation för binomialfördelningen).
3.138. Bestäm variansen för poissonfördelningen. Använd samma teknik som i beviset för väntevärdet.
3.150.
3.152. Vilken sannolikhetsfördelning har Y? Går det att använda tabellsamlingen för att lösa uppgiften?
3.153-3.155. I 3.153a är det fel i facit, det ska vara Bi(5,1/3).
3.159. Använd det faktum att m(0)=1.
3.161. Följ anvisningarna och se tillvägagångssättet vid 3.160 (Föreläsning).
3.162-3.163. Här introduceras ytterligare en genererande funktion som visar sig vara speciellt användbar i samband med poissonfördelningen.
3.164. Bestäm sannolikhetsgenererande funktion för binomialfördelningen.
3.165. Använd det som visades under föreläsningen för att bestämma väntevärde och varians för poissonfördelningen.
3.167. Enklare uppgift angående användning av Chebyshevs olikhet.
3.173. Uppgift angående binomialfördelningen. Exakta sannolikhetsberäkningar och uppskattningar dels via normalfördelningsregeln och dels via Chebyshevs olikhet.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar