Category Archives: Matematik

Gammafunktionen och fakultet

Här kommer den utlovade kopplingen mellan gammafunktionen \Gamma(x)=\int_0^\infty y^{x-1}e^{-y}dy och fakultet {x!}

Till att börja med studerar vi \Gamma(1):

\Gamma(1)=\int_0^\infty y^{1-1}e^{-y}dy=\int_0^\infty e^{-y}dy=\lbrack -e^{-y}\rbrack_0^\infty=-0+1=1.

Mer allmänt får vi

 \Gamma(x)=\int_0^\infty y^{x-1}e^{-y}dy=\int_0^\infty g(y)f(y)dy

där

 g(y)=y^{x-1}\qquad\mbox{och}\qquad f(y)=e^{-y}.

Vi använder partialintegration för att beräkna integralen. Vi har att F(y)=-e^{-y} och g'(y)=(x-1)y^{x-2}, så vi får

 \Gamma(x)=\lbrack -y^{x-1}e^{-y}\rbrack_0^\infty+(x-1)\int_0^\infty y^{x-2}e^{-y}dy\\=0+0+(x-1)\int_0^\infty y^{x-2}e^{-y}dy=(x-1)\Gamma(x-1)

eftersom \Gamma(x-1)=\int_0^\infty y^{x-2}e^{-y}dy per definition. Vi har alltså kommit fram till att

\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1).

Det innebär att \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)=x(x-1)\Gamma(x-1)=x(x-1)(x-2)\Gamma(x-2), och så vidare. Det här sambandet använde vi sist i uträkningarna som hörde till bild 33 i presentationen.

Om x är ett icke-negativt heltal får vi

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)=x(x-1)\Gamma(x-1)=\ldots=x(x-1)(x-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 =x!

vilket gör att vi kan tolka gammafunktionen som en kontinuerlig variant av fakultetsfunktionen! Det här förklarar också varför 0!=1, eftersom 0!=\Gamma(0+1)=\Gamma(1)=1, som vi kom fram till högst upp i den här texten.

Kommentering avstängd

Filed under Föreläsningar, Matematik