Tentamensinformation

Det börjar vara dags att anmäla sig till tentan, som går av stapeln den 13/3 kl 8.00-13.00 i Polacksbackens skrivsal.

Anmälan till tentamen sker på www.studentportalen.uu.se. Logga in, gå in på ”mina studier” och klicka på Statistik för ingenjörer. Där finns det en länk till tentamensanmälan. Sista dagen för anmälan är fredagen 1 mars.

Har du läst kursen under en tidigare termin behöver du inte omregistrera dig för att skriva tentan. Kursen ska finnas under ”oavslutade kurser” på sidan ”mina studier” på studentportalen.

Observera att tentamensanmälan är obligatorisk. För att kunna tentera en kurs måste du ha varit registrerad på kursen.

Föreläsning 9 – 20/2

På den nionde föreläsning pratade vi om konfidensintervall och om hur man kan använda dessa för att beskriva osäkerheten i sina skattningar. Vi tittade på hur man får fram konfidensintervall för väntevärdet $latex \mu$ i tre olika situationer: normalfördelning med känt $latex \sigma$, normalfördelning med okänt $latex \sigma$ samt fallet då man inte har normalfördelning men har ett stort stickprov.

Slides finns här. Tavelanteckningar kommer senare.

Datorövning 2 och inlämningsuppgift 2

Andra datorövningen
Instruktioner till andra datorövningen kan laddas ned här. Vi använder statistikspråket R för övningen.

Instruktionerna är utformade så att det ska gå att arbeta med övningarna på egen hand. Under de schemalagda övningarna i datorsal finns möjlighet att ställa frågor till läraren medan man arbetar med datorövningen.

Andra inlämningsuppgiften
Ett papper för att fylla i lösningarna till andra inluppen kan laddas ned här. Den består av nio små problem. OBS! Problemen ges i instruktionerna till datorövningen. Tillfredställande lösningar på inlämningsuppgift 2 ger 1 bonuspoäng till tentamen. För att lösningarna ska räknas som tillfredställande krävs att de:

  • Är korrekta.
  • För problem 1-5 räcker det att skriva ned resultatet av simuleringen/beräkningen.
  • För problem 6-9 ska lösningarna dessutom innehåller motiverande text.

Föreläsning 8 – 14/2

På den åttonde föreläsningen funderar vi över hur man exempelvis kan ta reda på vilka värden på $latex \mu$ och $latex \sigma^2$ som är rimliga om man inte vet något annat än att $latex X\sim N(\mu,\sigma^2)$. Lösningen är att använda sig av statistiska skattningar. Vi ser att en skattning kan betraktas som en slumpvariabler, vilket innebär att vi kan jämföra olika metoder för skattningar med hjälp av väntevärden och varianser.

Slides finns här. Tavelanteckningar finns här. R-koden till exemplen (hål i ost och normalfördelningsundersökning finns nedan).

Simulering av ostexperimentet:

Undersökning av normalfördelningsantaganden:

Sannolikheter och statistik med räknedosan

Här kommer några länktips för hur man kan beräkna sannolikheter och räkna ut exempelvis medelvärden med hjälp av moderna räknedosor.

TI-83

Tips på hur man kan räkna ut medelvärden, standardavvikelser och liknande för ett datamaterial finns på här. Funktionen 1-Var Stats ger bland annat följande resultat:

$latex \bar{x}$ = medelvärdet
$latex \sum_{i=1}^n x_i$
$latex \sum_{i=1}^n x_i^2$
$latex s_x=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1} (x_i-\bar{x})^2}$ = stickprovsstandardavvikelsen
$latex \sigma_x=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1} (x_i-\bar{x})^2}$, vilket alltså inte är stickprovsstandardavvikelsen eftersom man delat med $n$ istället för $n-1$.

Räknedosan kan också användas för att räkna ut sannolikheter för exempelvis binomialfördelningen. Funktionen binompdf räknar ut sannolikhetsfunktionen $latex P(X=k)$ med binomcdf räknar ut fördelningsfunktionen $latex P(X\leq k)$.

Andra fördelningar som finns är Poissonfördelningen och normalfördelningen. Om du vill använda de funktionerna, kontrollera att du använder dem på rätt sätt genom att exempelvis använda dem för att beräkna sannolikheter som vi räknat ut på annat sätt under föreläsningarna!

Casio

Vissa av Casios räknedosor går också att använda för att beräkna sannolikheter och olika läges- och spridningsmått för datamaterial. Jag har inte själv tillgång till en Casioräknare och har därför inte kunnat kontrollera hur det fungerar!

Sannolikheter kan beräknas genom att man väljer Menu -> STAT -> DIST. Det är sedan de funktioner som slutar på ”cd” som ger $latex P(X\leq k)$. Hur det fungerar beskrivs i den här pdf:en. Binomialfördelningen finns på sidorna 57-59, Poissonfördelningen på sidorna 60-61 och normalfördelningen på sidan 45.

Beräkning av medelvärde och standardavvikelse (standard deviation) beskrivs här och i ett gäng Youtube-klipp.

Lägg gärna till fler länkar i kommentarsfältet nedan om du har hittat bättre sidor än de som jag länkar till här!

Integrationsproblem

Många studenter på kursen brukar tycka att en del av de integraler och summor som vi stöter på är lite besvärliga att ta sig an, eller att tabellerna för normalfördelningen är krångliga att använda. Lyckligtvis så finns det bra datorhjälpmedel för sådana problem!

Fördelen med att vi studerar ett antal standardfördelningar, som binomialfördelningen, exponentialfördelningen och normalfördelningen är vi genom att använda en känd fördelning i vår matematiska modell får en massa saker på köpet. Andra har redan räknat ut integralerna åt oss och för de flesta fördelningar kan man snabbt få exempelvis väntevärden och sannolikheter genom tabeller eller datorprogram som R. Här är några exempel på hur man med R kan räkna ut olika sannolikheter för de vanligaste fördelningarna:

Om man ändå är tvungen att räkna ut en integral som man tycker känns för svår så finns det idag bra datorverktyg för det. En mycket bra gratistjänst är Wolfram Alpha.

Som ett första exempel på hur man kan använda Wolfram Alpha beräknar vi sannolikheten att en Po(3)-fördelad slumpvariabel är mindre eller lika med 3. Sannolikhetsfunktionen är $latex P(X=x)=\frac{3^x}{x!}e^{-3}$ så $latex P(X\leq 3)=\sum_{x=0}^3P(X=x)=\sum_{x=0}^3\frac{3^x}{x!}e^{-3}$ vilket vi kan räkna ut genom att skriva:

Det går lika bra att beräkna integraler. Exempelvis kan vi beräkna väntevärdet för en exponentialfördelad slumpvariabel. Exponentialfördelningens täthetsfunktion är $latex f(x)=\frac{1}{a}e^{-x/a}$ för $latex x>0$. Så väntevärdet är $latex \int_0^\infty xf(x)dx=\int_0^\infty\frac{1}{a}e^{-x/a}dx$. I Wolfram Alpha skriver vi det som:

Det går bra att använda R och Wolfram Alpha för beräkna summor och integraler när du gör exempelvis inlämningsuppgiften (kanske för att dubbelkolla att du räknat rätt?) - men glöm inte att du inte får ta med dig datorn till tentan...

Föreläsning 6 – 8/2

På den sjätte föreläsningen tittar vi på kontinuerliga slumpvariabler. Vi introducerar likformig fördelning, exponentialfördelningen och den viktiga normalfördelningen.

Vi löser parkeringsplatsproblemet, som handlar om en summa av slumpvariabler. Vi undersöker därför beteendet hos summor av slumpvariabler, vilket resulterar i några räkneregler och den viktiga centrala gränsvärdessatsen, som säger att summor av slumpvariabler (under vissa förutsättningar) är approximativt normalfördelade.

Slides finns här. Tavelanteckningar finns här.

Föreläsning 5 – 4/2

På kursens fjärde föreläsning fördjupade vi oss lite mer om slumpvariabler. Vi införde de viktiga begreppen väntevärde och varians och börja titta på kontinuerliga slumpvariabler. Vi löste kretskortsproblemet och påbörjade lösningen till parkeringsplatsproblemet.

Slides finns här. Tavelanteckningar finns här. R-koden till exemplen finns här; några av exemplen går att köra direkt här nedanför.

Simulera av väntevärdet för antal ögon vid ett tärningskast:

Hur parametern $latex m$, som beskriver väntevärdet och variansen, påverkar Poissonfördelningen:

Högre $latex m$ ger större värden och större spridning!